Ecuații raționale, exemple, soluții

Continuăm să vorbim despre rezolvarea ecuațiilor. Acest articol discută în detaliu principiile de ecuații raționale și soluții raționale de ecuații într-o singură variabilă. În primul rând am înțeles, ce fel de ecuații sunt numite rațional, da o definiție a ecuațiilor raționale raționale și fracționare, dau exemple. Apoi, vom obține algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor raționale, și, desigur, uita-te la exemple specifice de soluții cu toate explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Care este ecuația rațională?

La începutul clasei a 8 pe lecțiile de algebra începe un studiu cuprinzător de expresii raționale. Curând, desigur, începe datare ecuații care conțin expresii raționale în înregistrările lor. Astfel de ecuații sunt numite raționale. Formulăm informații exprimate în formă de definire a ecuațiilor raționale.

ecuații raționale - această ecuație, ambele părți ale căruia sunt expresii raționale.

Uneori există o definiție într-o formulare ușor diferită:

Ecuația rațională este numită partea stângă, care este o expresie rațională și dreapta - zero.

Aici trebuie remarcat faptul că, de fapt, ambele din următoarele definiții sunt echivalente, deoarece pentru orice expresii raționale P și Q ecua P = Q-Q și P = 0 sunt ecuații echivalente.

Pornind de la definițiile sunat, vom da câteva exemple de ecuații raționale. De exemplu, x = 1. 2 · x 12 x 2 · · y · z 3 = 0. - toate ecuațiile raționale.

Din exemplele prezentate arată că ecuația rațională este, cu toate acestea, și alte tipuri de ecuații poate fi ca o singură variabilă și cu două, trei, etc. variabile. În următoarele paragrafe, vom vorbi despre rezolvarea ecuațiilor raționale într-o singură variabilă. Soluția de ecuații cu două variabile și un număr mare merită o atenție specială.

În plus față de împărțirea ecuații raționale prin numărul variabilelor necunoscute, ele sunt împărțite în întreg și fracționată. Dăm definițiile corespunzătoare.

Ecuația rațională se numește un întreg. dacă atât stânga și la dreapta părți ale acestuia sunt expresii raționale integrale.

În cazul în care cel puțin o parte a ecuației este o expresie fracțională rațională, atunci această ecuație se numește fracțional rațional (sau fracționară rațional).

Se înțelege că ecuațiile nu conțin divizare întregi printr-un contrast variabil, ecuație diviziunea rațională fracționată este necesară pentru a conține o variabilă (sau o variabilă la numitor). Deoarece 3 · x + 2 = 0 și (x + y) · (3 · x 2 -1) + x = -y + 0,5 - această ecuație întregi rațională, ambele părți sunt expresii integrale. A x # 58; (5 · x 3 + y 2) = 3 # 58; (x-1) # 58 5 - exemple ecuații raționale fracționare.

La încheierea acestui punct, rețineți că bine-cunoscute la acest punct de ecuații liniare și ecuații pătratice sunt ecuații integrale raționale.

Soluție întreagă de ecuații

Una dintre principalele abordări întreaga ecuație este echivalentă cu reducerea lor la ecuații algebrice. Acest lucru se poate face întotdeauna prin efectuarea următoare sunt ecuații de conversie echivalente.

• Prima expresie pe dreapta în întreaga ecuație original este transferat în partea stângă cu semnul opus pentru a obține dreptul de la zero;
• apoi pe partea stângă a ecuației formată întreaga expresie este transformată într-un polinom în formă standardizată.

Rezultatul este o ecuație algebrică, care este echivalentă cu întreaga ecuație originală. Astfel, în cazurile cele mai simple, soluția întregii ecuații se reduce la soluția de ecuații liniare și pătratice și, în general - pentru a rezolva o ecuație algebrică de gradul n. Pentru claritate, ne uităm la o soluție de probă.

Ia întregi rădăcinile ecuației 3 · (x + 1) · (x-3) = x · (2 ​​· x-1) -3.

Noi reducem soluția de toată această ecuație este echivalentă cu rezolvarea unei ecuații algebrice pentru el. În acest scop, se transferă în primul rând expresia de pe partea dreapta la stânga, ca urmare a ajunge la ecuația 3 · (x + 1) · (x-3) -x · (2 ​​· x-1) + 3 = 0. Și, în al doilea rând, pentru a transforma expresia, formată pe partea stângă, în forma standard a unui polinom prin efectuarea acțiunii corespunzătoare cu polinoame. 3 · (x + 1) · (x-3) -x · (2 ​​· x-1) + 3 = (3 · x + 3) · (x-3) -2 · x 2 + x + 3 = 3 · x 2 -9 · x + 3-9-2 · x 2 · x 3 + x + = x 2 -5 · x-6. Astfel, soluția din întreaga ecuație originală reduce la rezolvarea unei ecuații pătratice x 2 -5 · x-6 = 0.

Se calculează discriminant D sa = (- 5) 2 -4 · 1 · (-6) = 25 + 24 = 49. este pozitiv, înseamnă că ecuația are două rădăcini reale, care se află la originea unei formule ecuații pătratice:

Pentru a fi sigur, efectuați verificările găsite în rădăcinile ecuației. Vă rugăm să verificați rădăcină 6. substitut pentru aceasta variabila x din ecuația este un întreg original, 3 · (1 + 6) + (6-3) = 6 · (2 ​​· 6-1) -3. ceea ce este același, 63 = 63. Aceasta este o egalitate numerică validă, prin urmare, x = 6 este într-adevăr rădăcina ecuației. Acum verificăm rădăcina -1. au 3 · (1 + 1) * (-1-3) = (- 1) + (2 · (-1) -1) -3. unde 0 = 0. Când x = -1 ecuație originală este de asemenea aplicată egalitatea numerică corectă, deci x = -1 este o rădăcină a ecuației prea.

Trebuie, de asemenea, remarcat faptul că prezentarea întregii ecuații sub forma unei ecuații algebrice este asociat termenul de „gradul de întreaga ecuație.“ Va da o definiție adecvată:

Gradul de întreaga ecuație se numește un grad echivalent cu el ecuație algebrică.

Conform acestei definiții, întreaga ecuație din exemplul anterior are al doilea grad.

In aceasta s-ar termina cu o decizie de ecuații raționale, în cazul în care nu au fost pentru un singur lucru .... După cum se știe, soluția de ecuatii algebrice de grad mai mare decât al doilea implică dificultăți considerabile și ecuații pentru al patrulea grad mai ridicat nu există la rădăcinile formulele generale. Prin urmare, pentru a rezolva ecuațiile la fel de mult ca și un al treilea, al patrulea și mai mari grade de multe ori trebuie să recurgă la alte metode de soluție.

În astfel de cazuri, uneori, ajută la abordarea rezolvării ecuațiilor raționale bazate pe metoda de factoring. În același timp, să adere la următorul algoritm:

• mai întâi să se asigure că partea dreaptă a ecuației a fost zero, această expresie este transferat din partea dreaptă a întregii ecuații din stânga;
• apoi, expresia rezultată în partea stângă este reprezentat ca un produs al mai multor factori, care permite să meargă împreună mai multe ecuații simple.

Algoritmul unei soluții a ecuației prin factoring necesită o explicație detaliată a exemplului.

Rezolva ecuația integrală (x 2 -1) · (x 2 -10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 -10 · x + 13).

În primul rând, ca transferul de obicei expresia de pe partea dreaptă la partea stângă a ecuației, fără a uita să schimbe semnul, obținem (x 2 -1) · (x 2 -10 · x + 13) - 2 · x · (x 2 -10 · x + 13 ) = 0. Există destul de evident că nu este indicat să se transforme în partea stângă a ecuației obținute în polinomului standard al formei, așa cum se va da o ecuație algebrică de gradul al patrulea forma x 4 -12 · x + 3 2 · x 32 -16 · x-13 = 0. soluția care este dificil.

Pe de altă parte, este evident că, în partea stângă a acestei ecuații poate factor în factor comun x 2 -10 · x + 13. prin aceasta prezentând ca produs. Avem (x 2 -10 · x + 13) · (x 2 -2 · x-1) = 0. Ecuația rezultată este echivalentă cu întreaga ecuație originală, și, la rândul său, poate fi înlocuită cu o combinație de două ecuații pătratice x 2 -10 · x + 13 = 0 și 2 x -2 · x-1 = 0. Găsirea rădăcinile prin formulele cunoscute de rădăcini prin discriminante nu este dificil, rădăcinile sunt egale. Ele sunt rădăcinile dorite ale ecuației inițiale.

Pentru soluții de ecuații raționale este utilă ca o metodă de introducere a unei noi variabile. În unele cazuri, aceasta permite să treacă la ecuațiile, ale căror grad este mai mic decât nivelul întregii ecuații inițiale.

In numărătorului, situat pe partea stângă a unei ecuații raționale fracțională este zero, deci valoarea acestei fracții este egală cu zero pentru toate x. în care are sens. Cu alte cuvinte, soluția acestei ecuații este orice valoare a lui x TCC această variabilă.

Rămâne să se determine intervalul de valori admise. Acesta include toate astfel de valoare a lui x. în care x 4 · x 5 + 3 ≠ 0. Soluțiile de 5 + x 4 · x 3 = 0 sunt 0 și -5. deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația 3 x · (x + 5) = 0. și la rândul său, este echivalent cu un set de două ecuații x 3 = 0 și x + 5 = 0. de unde aceste rădăcini sunt vizibile. Prin urmare, domeniul de toleranță dorită sunt toți x. cu excepția x = 0 și x = -5.

Astfel, ecuația rațională fracționară are infinit mai multe soluții, care sunt orice număr diferit de zero și minus cinci.

În cele din urmă, este timpul să vorbim despre decizia ecuațiilor raționale fractionare de orice fel. Ele pot fi scrise ca r (x) = s (x). unde r (x) și s (x) - expresii raționale, și cel puțin una dintre ele o fracțiune. Privind în perspectivă, noi spunem că soluția lor se reduce la soluția de ecuații de tipul celor familiare.

Este cunoscut faptul că transferul de la un termen al ecuației la altul, cu semn opus conduce la ecuația echivalentă, deci ecuația r (x) = s (x) este echivalentă cu ecuația r (x) -s (x) = 0.

De asemenea, știm că putem orice expresie rațională pentru a converti într-o fracție rațională. identic egal cu această expresie. Astfel, o expresie rațională în partea stângă a ecuației r (x) -s (x) = 0, putem converti întotdeauna să fie egal în mod identic o fracțiune rațională a formei.

Așa că pornind de la fractionata rațională ecuația r (x) = s (x) trece la ecuația. și soluția sa, așa cum am văzut mai sus, se reduce la rezolvarea p ecuația (x) = 0.

Dar aici trebuie să luăm neapărat în considerare faptul că, atunci când R (x) -s înlocuind (x) = 0 pe. în continuare p (x) = 0. extinderea gamei de toleranță a variabilei x poate avea loc.

În consecință, originalul ecuației r (x) = s (x) și ecuația p (x) = 0. la care am ajuns, ele pot fi neravnosilnymi și rezolvarea ecuației p (x) = 0. putem obține rădăcini, care sunt rădăcinile străine ale r originale ecuația (x) = s (x). Identificarea și includ rădăcini străine pot răspunde, sau în timp ce verificarea sau verificarea de membru DHS ecuația lor originală.

Vom generaliza aceste informații în algoritmul de decizie este o fracționare rațională ecuația r (x) = s (x). Pentru a rezolva fractional r ecuații raționale (x) = s (x). must

• Ia-zero dreapta prin transferarea expresiei de pe partea dreaptă cu semnul opus.
• Efectuați operații cu polinoame și fracții de pe partea stângă a ecuației, transformând-o astfel într-o fracțiune rațională a formei.
• Pentru a rezolva p ecuația (x) = 0.
• Identificarea și eliminarea rădăcini străine, care se face prin substituirea lor în ecuația inițială, sau prin verificarea livrărilor lor Endesa ecuația originală.

Pentru o mai mare claritate vom arăta întregul lanț soluțiile fracționară ecuații raționale:
.

Să ne uităm la câteva exemple de soluții cu o explicație detaliată a soluției se transformă pentru a clarifica informațiile bloc de date.

Rezolva ecuații raționale fracționare.

Vom acționa în conformitate cu algoritmul de soluție nou obținută. Și a extins inițial termenii partea dreapta a stânga, ca urmare a merge la ecuația.

În a doua etapă, avem nevoie pentru a converti expresia rațională fracționată în partea stângă a acestei ecuații la forma fracție. Pentru a face acest lucru, efectuăm reducerea fracțiilor raționale la un numitor comun și să simplifice expresia rezultată. Așa că am ajunge la ecuația.

În pasul următor avem nevoie pentru a rezolva ecuația -2 · x-1 = 0. Găsim x = -1/2.

Rămâne să verifice dacă este sau nu numărul găsit -1/2 rădăcini străine ale ecuației inițiale. Pentru a face acest lucru, puteți face o verificare de fond sau de a găsi o variabilă x DHS a ecuației inițiale. Demonstrați ambele abordări.

Începem prin verificarea. Substituind în ecuația inițială pentru numărul variabilei x -1/2. Noi primim. ceea ce este același lucru, -1 = -1. Substitutiv dă egalitatea numerică corectă, cu toate acestea, x = -1 / 2 este o rădăcină a ecuației inițiale.

Noi acum arată modul în care ultimul punct al algoritmului realizat de DHS. Domeniul de aplicare a valorilor admisibile ale ecuației inițiale este mulțimea tuturor numerelor, cu excepția (numitorii când x = -1 și x = 0 Vanish) -1 și 0. S-au găsit în etapa anterioară rădăcina x = -1/2 aparține DHS, prin urmare, x = -1 / 2 este o rădăcină a ecuației inițiale.

Luați în considerare un alt exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Avem nevoie pentru a rezolva ecuația rațională fracțională, care trece prin toate etapele algoritmului.

În primul rând, transferul termenului de partea dreapta la stânga, obținem.

În al doilea rând, transformăm expresia, formată pe partea stângă. Ca rezultat, vom ajunge la ecuațiile x = 0.

Rădăcina lui este evident - este zero.

Al patrulea pas este de a afla, nu se găsește rădăcina outsideri pentru ecuațiile raționale fracționare inițiale. Când este substituită în ecuația originală obținem expresia. Evident, aceasta nu are nici un sens, deoarece conține o diviziune de la zero. Din ce am ajuns la concluzia că 0 este o rădăcină a unui outsider. În consecință, ecuația originală nu are rădăcini.

În concluzie, vom adăuga că nu este necesar să adere orbește la algoritmul de mai sus pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționare, deși este universală. Doar uneori, în valoare de alte ecuații de conversie permit să ajungă la un rezultat mai rapid și mai ușor.