Pregătirea elevilor pentru examenul la rezoluția centru de formare (manual de matematică - elementele

1. Determinarea funcției y = f (x) se numește convexă în sus, în intervalul (a, b). Dacă astfel încât x1 2 (Fig. 2) pentru oricare două puncte.

funcţii convexe

2. Determinarea funcției y = f (x) se numește convexă în jos în intervalul (a, b). Dacă astfel încât x1 2 (fig. 4), pentru oricare două puncte.

Derivata a doua a funcției

DEFINIȚIE 3. Dacă funcția y = f (x) derivat de la un punct x0. atunci acest derivat este adesea menționată ca primul derivat, sau un derivat al primului ordin al funcției y = f (x) la x0.

Să presupunem că funcția y = f (x), derivatul la toate punctele. Apoi, la fiecare punct de calcul derivat f „(x). obținem o funcție y = f „(x). Dacă funcția y = f „(x), derivatul la un interval de punctul x0 (a, b), atunci acest derivat este numit al doilea derivat sau al doilea derivat al funcției y = f (x) la x0.

Pentru al doilea ordin derivat y = f (x) folosind următoarea notație:

In mod similar, așa cum sa făcut în determinarea celei de a doua derivate a funcției f (x), poate fi determinată și derivatele ordinelor superioare: a treia derivata, patra derivata etc. (Desigur, presupunând că acestea există).

condiții suficiente pentru concavitatea și funcția de convexitate în jos

In convexitatea direcția de studiu (convexitatea în sus sau în jos, umflătura) joacă un rol important, derivata a doua a acestei funcții.

Declarație 1. Dacă funcția f (x) este în intervalul (a, b) al doilea derivat, și pentru toată starea

funcția f (x) este convexă în jos în intervalul (a, b).

Revendicarea 2. Dacă funcția f (x) este în intervalul (a, b) al doilea derivat, și pentru toată starea

funcția f (x) este în sus convex în intervalul (a, b).

depozițiilor 1 și 2 sunt în afara domeniului de aplicare al matematicii școlare și nu sunt prezentate aici.

Exemplul 3. Funcția y = ln x în satisface interval

Exemplul 4. Funcția y = e x în satisface interval

punct de inflexiune

DEFINIȚIE 4. Lăsați funcția y = f (x) definită pe un interval (a, b). care conține punctul x0. Se spune că, atunci când trece prin punctul x0 funcția f (x) își schimbă direcția convexității, în cazul în care unul dintre intervalele

Notă 1. Dacă x0 - funcția punct de inflexiune y = f (x), apoi graficul funcției y = f (x) atunci când trece prin punctul x0perehodit pe o parte a tangentei la punctul (x0; f (x0)) pe cealaltă parte a tangentei care este „șifonată“ prin tangenta.

Exemplul 5. Se consideră funcția y = x 3. a cărei grafic este prezentat în figura 7.

apoi linia y dreaptă = 0 (axa x Ox) este tangent graficul funcției y = x 3 la punctul (0, 0).

Prin urmare, y "> 0 pentru x> 0 și y" <0 при x <0. Таким образом, функция y = x 3 выпукла вверх при x <0 и выпукла вниз при x> 0 și punctul x = 0 este un punct de inflexiune al graficului y = x 3. Program funcție y = x 3, în care trece prin punctul x = 0 este transferată de la inferior semiplanul în jumătatea superioară, adică „înnodat“ peste tangent y = 0.

Condițiile necesare pentru existența unui punct de inflexiune

Observația 2. Condiții pentru existența unui punct de inflexiune, stabilite într-o declarație 3, sunt necesare, dar nu sunt suficiente.

Intr-adevar, consideram functia y = x 4. a cărei grafic este prezentată în Figura 8.

rețineți că y '' (0) = 0. Cu toate acestea, x = 0, punctul nu este un punct de inflexiune al graficului y = x 4. Deoarece functia y = x 4 convex. când ambele x <0. так и при x> 0.

condiții suficiente pentru existența unui punct de inflexiune

Declarație 4. Lăsați funcția y = f (x) definită pe un interval (a, b). care conține punctul x0. Acesta are un prim derivat în fiecare punct al intervalului (a, b) și are un al doilea derivat de la fiecare punct al intervalului (a, b), cu excepția, poate, a punctului x0.

În cazul în care punctele de condiție:

sau condiție:

Cu alte cuvinte, punctul x0 este punctul de inflexiune al graficului lui f (x). în cazul în care trece prin punctul x0 a doua modificări derivate semneze.

Exemplul 6. intervale Gaseste unde funcția

Rezultă că există derivata a doua, la toate punctele și devine zero la punctele x = 1 și x = 2. Noi folosim metoda intervalelor și reprezentate grafic în figura 9 diagrama semnelor de derivat al doilea y „(x)

La trecerea prin punctul x = 1, derivata a doua y „(x) își schimbă semnul de la“ + „la“ -“Prin urmare, x = 1. - punctul de inflexiune al funcției graficului.

La trecerea prin punctul x = 2 derivat al doilea y „(x) se schimbă de la semnul“ - „la“ + „Prin urmare, x = 2 este, de asemenea, un punct de inflexiune al graficului ..

Dacă și când derivata a doua y „(x)> 0, astfel încât funcția y (x) este convexă în jos, în aceste intervale.

Puteți obține, de asemenea, cunoștință cu profesorii dezvoltat un centru de formare „rezolutiv“ materiale de instruire pentru a se pregăti pentru examenul la matematică.

Pentru studenții care doresc să se pregătească bine pentru și promovat examenul la matematică, fizică sau limba română pentru un scor mare, centrul de formare „rezolutiv“ deține