Știință de rețea și trigonometria
Distanța în planul complex de origine (punctele) la un punct numit modulul unui număr complex. număr complex Modulul este desemnat ca un număr de unitate validă. O astfel de notație coincidență nu duce la confuzie, deoarece modulul unui număr real este, de asemenea, egală cu distanța de la punctul corespunzător de pe axa reală, până la punctul. Dacă, atunci, în mod evident, (Fig. 112).
Problema 2.1 Demonstrați că pentru orice număr de complexe și de inegalitate.
Acum conectați punct la punct. Unghiul format de segment linia obținută cu axa reală (mai precis, direcția pozitivă a axei reale) se numește număr argument (Fig. 113 a). Acest unghi este de obicei exprimat în radiani.
În cazul în care, argumentul este, atunci, în mod evident,
Înregistrarea unui număr complex în forma în care 0 $ „width =“ „height =“ 51 35 „> se numește forma trigonometrice a unui număr complex. Forma trigonometrice se poate scrie orice număr complex, cu excepția (zero argument nu specificați) zero.
Noi scrie, de exemplu, sub forma numărului trigonometrice. Evident, și Fig. 113 b că un argument poate fi luat:
Cu toate acestea, cu același succes a fost posibil să spunem că argumentul este: pentru că egalitatea este de asemenea adevărat. În general, argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic și până la adăugarea, unde - un număr întreg. Putem lua orice număr pentru care un număr de argument.
Sarcina 2.2 Căutare argumente următoarele numere, și apoi scrie aceste numere în forma trigonometric: a); b); c); g); d); e).
Obiectiv 2.3 Demonstrați că
Acum, să presupunem că ne sunt date de numere complexe și. Să-i înmulțiți:
(Am folosit formulele de suma sinus și cosinus).
După cum puteți vedea, dacă vom merge la forma trigonometrice, multiplicarea numerelor complexe pot fi scrise printr-o formulă simplă:
Când inmultirea numerelor complexe multiplicate sunt adăugate module și argumentele lor.
Deoarece diviziunea - o acțiune contrară multiplicarea, atunci:
Atunci când împărțirea numerelor complexe de module sunt împărțite, iar argumentele sunt scăzute.
Deci, ne-am dat sensul geometric al multiplicării numerelor complexe, considerate ca vectori în plan. La prima vedere, acest lucru este contrar a ceea ce sa spus în Sec. 4.0. în cazul în care ni sa spus că definesc multiplicarea geometrica vectorilor în planul este imposibil. Imaginați-vă, însă, că sunt date doi vectori, și vrem să multiplice `` numere complexe „“ - apoi se dovedește că, în scopul de a stabili argumentele lor, trebuie să avem mai întâi o axă care argumentele de numărare, și dacă vom alege `` axa reală „“ într-un mod diferit, atunci produsul se va schimba!
Având în vedere înmulțirea numerelor complexe scrise în formă trigonometric, am văzut că în înmulțirea numerelor complexe înmulțit modulele lor. Scriem această proprietate numere complexe în formula
Sarcina 2.4 Dovedeste formula (3) bazat pe determinarea înmulțirii numerelor complexe.
Obiectiv 2.5 a) Demonstrați că; b) ieșirea acestei identități cu formula (3).
Formula (3) poate fi rescrisă și fără a utiliza numere complexe. De fapt, în cazul în care, apoi, creșterea (3), în pătrat, obținem următoarea identitate:
Desigur, această identitate este ușor de verificat în mod direct.
Sarcina 2.6 Dovedește că numărul de
este suma pătratelor a două numere întregi.
Sarcina 2.7 Dovedește că numărul de
și este suma pătratelor a două numere întregi.
Există un analog de identitate (4) pentru suma celor patru pătrate, arătând că produsul dintre cele două sume de patru pătrate sunt, de asemenea, egal cu suma celor patru pătrate:
Sarcina 2.8 Dovedește această identitate.
Există, de asemenea, un analog al acestor două identități pentru sume de opt pătrate, dar asta e tot, și se termină: identitatea produsului `a două sume de pătrate este suma pătratelor„“nu există.
Acum, să vedem ce rezultă din faptul că argumentele sunt numere complexe adăuga până atunci când este multiplicată.
Dacă vă construi un număr complex la o putere, adică, ea se multiplica de la sine, din nou, se va construi un modul de putere, iar argumentul se înmulțește cu:
În special, dacă asta e ceea ce se întâmplă:
Din formula DeMoivre deduce cu ușurință formule care exprimă și prin și. Pentru a face acest lucru în partea stângă pentru a deschide parantezele și cauza similare. Atunci când, de exemplu, veți obține acest lucru:
Pentru a obține astfel de formule pentru arbitrare, este necesar să se prezinte paranteze, iar acest lucru necesită o formulă generală pentru suporturile divulgă în expresie. Scriem această formulă, dar nu-l dovedesc. Se pare ca acest lucru.
Cu alte cuvinte, chiar coeficientul partea dreaptă este: numitorul este produsul primelor numere naturale, numărătorul și - produsul de numere întregi consecutive, în ordine descrescătoare începând de la. Deși factorii în formula noastră scrisă ca o fracție, de fapt, toate dintre ele - sunt numere întregi.
Formula pentru care am scris, numit teorema binomială.
Sarcina 2.9 Verificați formula binomului.
Problema 2.10 a) Scrieți formula pentru binomial.
b) lista cu formulele și.
Sarcina 2.11 Asigurați-vă că în formula coeficient binomial egal.
Problema 2.12 Demonstrați că în formula coeficienții de a lui Newton binom și egal (care nu este surprinzător: În cazul în care partea stângă a identității nu se schimbă atunci când locurile de schimbare, iar același lucru ar trebui să fie pe partea dreapta).
Alte formula aplicație DeMoivre - o altă derivație cu formula pentru suma cosinusurilor sau sinus ale unghiurilor formează progresie aritmetică (§4.5.). De fapt, chiar dacă trebuie să calculeze suma
Luați în considerare numerele complexe. Apoi, în mod evident. Prin urmare,
Cu toate acestea, partea dreaptă poate fi calculată folosind formula pentru suma progresie geometrică:
(Dacă sunteți jenat că aplicăm această formulă la numerele complexe, uita-te din manual școală, așa cum sa dovedit, și asigurați-vă că literalmente aceeași dovadă este de asemenea potrivit pentru numere complexe.)
Acum este necesar să se simplifice expresia pe dreapta (aceasta este, de obicei, prin împărțirea numerelor complexe, este necesar să se înmulțească numărătorul și numitorul fracției și pentru a separa părțile reale și imaginare în expresia rezultată. Partea reală este egală, iar partea imaginară este egal.
Sarcina 2.13 Efectuați aceste calcule și asigurați-vă că răspunsurile coincid cu cele obținute în sec. 4.5.
Timpul folosind formularul trigonometrice unui număr complex ridicat la o putere este convenabil, desigur, speranța că aceeași formă trigonometrice și ajutor în efectuarea operațiunii inverse - extracția de rădăcini de numere complexe. Vom arăta de exemplu, ce apar noi fenomene în același timp.
Să ne-a cincea rădăcină de 32, adică, găsiți numărul pe care este ridicat la a cincea putere, va da numere reale 32. Printre un număr unu - numărul 2. Să vedem ce se întâmplă dacă ia în considerare orice numere complexe. Cautam numere astfel încât. Cel mai simplu mod de a găsi numărul modulului, în cazul în care, apoi (pentru înmulțirea numerelor înmulțit module), în cazul în care (I -SO - un număr real normală, astfel încât nu există neînțelegeri nu vor). Rămâne să găsească un argument. Pentru aceasta vom scrie în forma trigonometric :. Apoi, de unde, care, la rândul său, este echivalent cu sistemul de ecuații trigonometrice
evident Acest sistem satisface exact cele și doar acele numere pentru care numărul corespunde punctului de referință pe cercul trigonometric, adică, sau (Prin urmare, soluția ecuației - este de forma, în cazul în care nu toate aceste numere sunt diferite: .. Pe măsură ce numere complexe argumentele pe diferite, la fel, diferite numere complexe sunt obținute doar la, iar apoi valorile vor fi repetate, astfel, toate rădăcinile, sau, dacă vreți, toate rădăcinile gradul al cincilea al 32 sunt .:
Ei nu mai sunt. Dacă reprezentăm toate rădăcinile cincilea gradul de 32 în planul complex, constatăm că acestea sunt amplasate la vârfurile unui pentagon regulat.
În considerațiile noastre a jucat nici un rol, nici că am eliminat rădăcina este de gradul 5, și nici faptul că am scos-o din 32. De fapt, pentru orice număr complex există exact soluțiile (Aceste soluții sunt numite rădăcinile grade). Când imaginea pe planul complex de extindere a rădăcinilor sunt localizate în vârfurile unui -gon regulat centrat la 0 ° C.
Sarcina 2.14 Căutare: a) toate cele trei rădăcină cubică; b) toate cele șase rădăcini de 1 grad 6 și le atrage în planul complex.
Sarcina 2.15 a) Să se arate că produsul celor două rădăcini de 1 grad - același nivel de rădăcină de 1.
* B) Să - toate gradele de rădăcinile 1 - întreg. Demonstrați că
Am adăugat la numărul de numere reale normale, pentru a putea extrage rădăcinile pătrate de numere negative; sa constatat că este posibil să se rezolve orice ecuație pătratică în numere complexe. Este remarcabil faptul că, în general, orice ecuație algebrică are o rădăcină în numere complexe: nu noi numere pentru adăugarea de această intrare nu este necesară. Acest fapt important, care este denumit în mod tradițional ca teorema fundamentală a algebrei, sa dovedit în secolul al 18-lea, marele matematician german K.F.Gauss.