Modul și argumentul unui număr complex
Un număr z complex = x + y i IMAGE-iernile punctul z din planul complex; z coordonatele punctului are (x, y). Să considerăm vectorul razei al acestui punct (fig. 2). Modulemkompleksnogo număr z r se numește lungimea vectorului razei acelui punct. Modulul Chislaz integrat notat | z |. În consecință, prin definiție,
Deoarece r = (obținută din formula pentru distanța dintre două puncte în planul 0 (0, 0) și z (x, y)), atunci
Această formulă exprimă mo-un modul al unui număr complex z = x + i y prin părțile sale reale și imaginare. Ecuația (18) are o semnificație geometrică simplă: ea exprimă lungimea ipotenuzei-unghi drept triunghi cu picioare | x | și | y | (A se vedea. Fig. 2).
Rețineți că modulul numărului complex este Xia număr real nenegativ.
Argumentul unui număr z complex = x + y i-numit vayut unghiul φ de înclinare a vectorului razei la pozitiv pe jumătate Ox. Argumentul unui număr complex z notat ca: Argz. La schimbarea acestui unghi z pot lua valori reale (atât pozitive, cât și negative, acestea din urmă sunt măsurate prin urlând chaso direcția). Dacă modulele sunt două numere complexe sunt egale, iar valorile unghiul φ diferă unul de altul prin 2π, sau la un multiplu de 2π, atunci punctul-Corespunzător vuyuschie aceste numere complexe sunt aceleași; număr complex Comp în acest caz, sunt egale. Prin urmare, argumentul număr complex z are infinit de multe valori care diferă unul de altul printr-un multiplu de 2π. Argumentul nu este definit fisiune doar pentru numărul 0, modulul este egal cu zero: | 0 | = 0. Printre argumentele de numere complexe Z0 slab valori este unul și doar o singură valoare pentru excepție între -π, π +, inclusiv cea mai recentă valoare. Aceasta se numește valoarea principală a argumentelor, și indică faptul că argz. Astfel, modulul și argumentul unui număr complex z satisfac următoarele relații:
| Z | 0, -π Principala valoare argument un număr real pozitiv egal cu 0, principala valoare argument real un număr negativ este egal cu tt, valoarea principală a argumentului bi număr imaginar (b> 0) este egal cu tt / 2, valoarea principală a numărului imaginar argument -bi (b> 0) este egal cu -π / 2. Exprimă părți reale și imaginare ale complexului complex număr z = x + i y prin modulul său și argumentul-ment. Să z punct reprezintă numărul z = x + i y (fig. 2). Din triunghiul din dreapta ne Oaz x = r cosφ, y = r sinφ, (19) unde r = | z |. Prin urmare, din formulele (17) și (18): = Cosφ, sinφ =, tgφ =. De exemplu. 1) găsi argumentul lui z = 1 - i. Deoarece Re z = 1, z = -1 Im, atunci punctul z = 1 - i este în IV cadranul. Prin urmare, este suficient să se găsească o soluție la una dintre ultimele ecuații. care este unghiul în trimestrul IV. Să considerăm ecuația cosφ =. descoperim cos φ =, φ = + 2kπ (k = 0, 1,2, ...); 2) găsi argumentul numărul 1- i. Punctul -1-i este în cadranul III. Să ne găsim o soluție pentru ecuația tg φ =, care este unghiul trimestru BIII. descoperim tg φ = 1, φ = + 2kπ (k = 0, 1,2, ...).