Proprietățile modulului și argumentul unui număr complex, regina de matematică

Proprietățile modulului și argumentul unui număr complex:

Modulul de conjugat număr $ z $ egal cu modulul complex număr $ z $.

2 °. $ Z \ cdot \ bar z = | z | ^ 2 $

Produsul unui număr complex conjugat la aceasta este pătratul modulului unui număr complex.

3 °. $ \ Mathrm \ bar z = - \ mathrm z $, $ (\ mathrm z \ ne \ pi) $

Numărul argument, complex conjugat număr $ z $ egal cu argumentul negativ al unui complex număr $ z $.

număr complex Modulul mai mare sau egală cu cea mai mare dintre valorile absolute ale părților sale reale și imaginare și nu depășește suma acestor module.

5 °. $ | Z_1 | - | z_2 | \ Le | z_1 + z_2 | \ Le | z_1 | + | Z_2 | $

Modul suma a două numere complexe este mai mare sau egală cu diferența dintre aceste module și numere mai mici sau egale cu suma numerelor de module.

6 °. $ | Z_1 \ cdot z_2 | = | Z_1 | \ Cdot | z_2 | $, $ \ mathrm (z_1 \ cdot z_2) = \ mathrm z_1 + \ mathrm z_2 $

Modul de produs a două numere complexe este egal cu produsul modulelor acestor numere complexe, argumentul produsului al acestor două numere este egală cu suma acestor numere de argumente.

Modulul câtul a două numere complexe este egal cu modulii particular al acestor numere complexe, argumentul special acestor două numere este egal cu diferența dintre argumentele acestor numere.

8 °. $ \ Stânga | z ^ n \ dreapta | = | Z | ^ n $, $ \ mathrm \ din stânga (z ^ n \ dreapta) = n \ cdot \ mathrm z $

Argumentul unui complex număr $ z $ a $ n $ th grad este egal cu produsul de exponent $ n $ un argument al unui număr complex.

Modul rădăcină grad complex număr z argument egal chastnomum n-lea a unui număr complex și exponent $ n $.

Teorema. Setul de numere complexe $ C $ este un spațiu metric cu metrica $ p (z_1, z_2) = | z_1 - z_2 | $.

Corolar. Pentru un set de numere de complex $ C $, puteți introduce toate conceptele spatiilor metrice:

1) $ \ varepsilon $ - cerc centrat la $ z_0 $: $ \ bar u (z_0, \ varepsilon) = \ $;

2) găurite $ \ varepsilon $ - cerc la $ z_0 $: $ \ bar u (z_0, \ varepsilon) = \ $;

3) $ G \ subset C $, conceptul de puncte interne, externe, la limita de $ G $;

4) Noțiunea de deschis, închis, seturile asociate.

Definiție (limita de $ secvența (z_n) $). Numărul $ $ z_0 numit limita a $ secvența (z_n) $ $ z_0 = \ lim_ z_n $, în cazul în care $ \ lim_ p (z_n, z_0) = 0 $ și $ \ lim_ | Z-z_0 | = 0 $.

Din proprietățile corespunzătoare ale modulului numărului complex implică faptul că convergența $ secvență (z_n) $ la punctul $ z_0 $ echivalent secvență sodimosti $ (\ mathrm z_n) $ a $ \ mathrm z_0 $ un alt posledovatelnsti $ (\ mathrm z_n) $ a $ \ mathrm z_0 $. Prin urmare, teorema următoare deține.

Teorema (Bolzano-Weierstrass). Din orice secvență mărginit de numere complexe are convergent.

Teorema (criteriul Cauchy). Pentru convergența $ secvență (z_n) $ este necesar și suficient ca era fundamental, adică, $ \ forall \ varepsilon> 0 \; \ Exists n_0 \; \ FORALL n, m ((n \ le n_0) \ - (m \ le n_0) \ rightarrow | z_n - z_m | <\varepsilon)$.