Proprietățile modulului unui număr complex

Rezumând rezultatele prezentate mai sus, obținem următoarele proprietăți ale modulului:

1. êz ê³ 0

2. z ÎR Þ êz êAceasta coincide cu valoarea absolută a unui număr real

Această din urmă proprietate este adevărat, deoarece expresia aritmetică este inegalitatea triunghiului înregistrat pentru vectorii Z1, Z2, z1 + z2.

1.11. Scoaterea rădăcina unui număr complex

Definiția. Rădăcina de gradul n-lea al numerelor complexe se numește un număr complex, de putere n-lea este egal cu radicand. . W n = z.

Astfel, egalitatea:

Dar un număr egal de module complexe trebuie să fie egale, iar argumentele pot să difere numai printr-un multiplu de 2p, și anume r n = r. ny = j + 2PK,

în cazul în care există valoarea aritmetică a rădăcinii și k - orice număr întreg. Astfel, obținem:

și anume pentru a extrage rădăcina unui număr complex, este necesar să se îndepărteze rădăcina unității sale, iar argumentul împărțit indicele rădăcină.
În formula (*) Numărul k poate lua tot felul de valori întregi; dar valori diferite de rădăcină va numai n, și ei vor respecta valorile:

Pentru a demonstra acest lucru, rețineți că partea dreaptă în formula (*) vor fi diferite pentru două valori diferite ale k = k1 și k = k2 atunci când argumentele și nu a diferit ori 2p, și vor fi identice în cazul în care acestea sunt diferite de mai multe argumente 2p. Dar diferența (k1 -k2) a două numere din seria (**), în valoare absolută mai mică decât n, și, prin urmare, diferența nu poate fi un multiplu de 2p, adică n valori ale lui k din seria (**) corespund valorilor rădăcinilor n distincte.

Acum, să k2 - un număr întreg (pozitiv sau negativ) nu se află în numărul de (**). Ne putem imagina în forma:

unde q - întreg și k1 - orice număr de serie (**) și, prin urmare

și anume valoarea k2 corespunde aceeași valoare a rădăcinii, și că valoarea k1. încheie seria (**).

Astfel, puterea de rădăcină n-lea a numărului complex n are valori diferite.

O excepție de la această regulă este un caz special în cazul în care radicand este zero, adică r = 0. În acest caz, toate valorile sunt rădăcină de zero de mai sus.

1.12. Forma exponențială a unui număr complex

Am generaliza conceptul funcției exponențiale în cazul oricărei figura complexe. Pentru exponent real, funcția de e x poate fi reprezentat ca o serie:

Definiți același lângă funcția exponențială în cazul indicelui pur imaginar, adică set:

Separând termenii reale și imaginare, avem aici:

ne amintim descompunerea confortabilă și siny într-un rând, determinăm:

În ceea ce privește formula (1), se pare destul de natural. In contrast, tipul de formula (2) nu cauzează această senzație. Să vedem dacă este posibil din aceleași expresii și + bi obține suficient de sistem număr rezonabil, menținând regula de adăugare (1), dar înlocuind (2) orice nouă lege de multiplicare. S-ar putea arata ca aceasta noua lege? Într-o mare măsură, depinde de ce proprietăți dorim să oferim o nouă multiplicare. De exemplu, ar fi absurd să-l introducă prin formula (a + bi) (c + di) = ac 2 + BDI. pentru că atunci, de exemplu, atunci când b = 0, d = 0, ne-ar fi mai degrabă ciudat ecuație ac = ac 2.

Să subliniem cererile pe care le vom prezenta o nouă multiplicare:

1) Multiplicarea unui număr real a. considerat ca un nou sistem numeric membru (a = a + 0i), un număr arbitrar z = b + ci ar trebui să dea același rezultat ca și în cazul numerelor complexe, m. f

În special, acest lucru înseamnă că, pentru numere reale o nouă multiplicare trebuie să coincidă cu de obicei:

Având în vedere că același lucru este valabil și pentru adăugarea (din (1) să fie (a + 0i) + (b + 0i) = (a + b) + 0i), este prin prezenta numere reale incluse într-un nou sistem numeric cu mediul lor natural aritmetică.

2) În cazul în care egalitatea

în cazul în care a și b - sunt numere reale. De exemplu, (2i) (3i) = 6i 2.

3) În ceea ce privește primul factor, iar al doilea trebuie efectuat proprietate distributivă care se referă înmulțirea cu adaos:

Desigur, aceste afirmații nu au fost încă ne permite să scrie o nouă lege înainte de sfârșitul înmulțirii, dar toate acestea ar trebui să fie mult. Și anume,

Acum, pentru a scrie rezultatul, putem indica doar ceea ce este i 2. Luând i 2 = -1, ajungem la înmulțirea numerelor complexe. Dar acest lucru este - nu este singura posibilitate. În principiu, deoarece este necesar doar să lucreze în fața noastră a aparținut ii sistem de numere, de ex., E. a fost numărul de + qi forma p. Prin setarea p și q, ne-am stabilit în cele din urmă un fel de drept de multiplicare:

Subiectul studiului nostru, prin urmare, a fost determinată. Acum puteți uita despre considerațiile de „sugestive“ care ne-au condus la formula (3), și să spun că noi considerăm un sistem de numere de forma a + bi cu legea de adăugare (1), și legea de multiplicare (3), în cazul în care p și q - două fixe numere reale (care determină, ca să spunem așa, „aritmetice“ numere ale sistemului).

După o analiză atentă cu formula (3), suntem destul de ușor pentru a vedea că o nouă multiplicare are proprietatea de comutativitate:

- un rezultat destul de surprinzător, având în vedere că printre cererile depuse la multiplicarea unor astfel de proprietăți nu a fost! Se efectuează și asociativitate ((z1 z2) = z3 z1 (z2 z3)), cu toate că verificarea acestui fapt necesită puțin mai multă răbdare. avem

comparând rezultatele ambelor calcule pot verifica cu ușurință identitatea lor.

Reducerea la trei sisteme. Poate părea că am găsit un număr de nenumărate sisteme, la fel ca în formula (3) conține două numere reale arbitrare p și q. Dar acest lucru nu este adevărat. Acum vom vedea că orice sistem este redus la una din cele trei lucruri:

I), numărul a + bi. unde i 2 = -1. (numere complexe);

II) numărul a + bi. unde i = 1, 2 (așa-numitul număr dublu);

III) numărul a + bi. 2 unde i = 0 (numere duale așa-numitele).

Reducerea oricine respectivul caz una din aceste trei, după cum urmează.

Din ecuația 2 i = p + qi urmează -qi = 2 i p sau: